超材料光子晶體CST仿真 - 60度周期布里淵區(qū)與布洛赫定理
之前寫過二維光子晶體的案例：超材料光子晶體和禁帶分析實(shí)例，其周期為正方形
這期我們還以二維光子晶體為例，看一下六邊形周期結(jié)構(gòu)的色散圖仿真，以及多重模式下利用布洛赫定理進(jìn)行模式挑選。
第一部分：建模和仿真設(shè)置
首先推薦使用色散圖模板，頻率范圍設(shè)0-250THz。
定義周期結(jié)構(gòu)尺寸參數(shù)：
建模：
再畫個(gè)方型區(qū)域作為單元晶胞，用圓柱Trim。
復(fù)制周期單元，剪切，只保留方形區(qū)域內(nèi)單元：
求解器設(shè)置：
提高求解器精度和速度：
手動(dòng)加密網(wǎng)格：
先添加后處理方便后處理：
六邊形不可約布里淵區(qū)：
?！鶰: phaseX=0; phaseY=0~360
M→K: phaseX=0~120;phaseY=360
K→Γ: phaseX = 120~0;phaseY=360~0
所以修改phaseX和phaseY的定義式：
參數(shù)掃描開始：
第二部分：布洛赫定理驗(yàn)證
由于相位計(jì)算k的結(jié)果是非唯一解，所以該結(jié)果中會(huì)有出現(xiàn)多個(gè)Mode表示一個(gè)TM模的混亂情況。我們將通過后處理，手動(dòng)驗(yàn)證真正的TM模是哪些。
根據(jù)布洛赫定理，本征模需要滿足下式：
其中e是晶格周期函數(shù)，E是本征模，所以，反用公式可得周期函數(shù)表達(dá)式：
具體方法就是，在三維結(jié)構(gòu)中，我們定義兩個(gè)圓曲線，相對(duì)位置為晶格矢量，然后分別計(jì)算曲線上的Z電場（TM模）或Z磁場（TE模），然后與相位因子exp相乘，作為滿足晶格周期函數(shù)的本征模電場，再和之前計(jì)算出的15個(gè)Mode相比較，選出符合布洛赫定理的Mode。
由于場數(shù)據(jù)存在采樣誤差或其他誤差，我們不能期望提取的函數(shù)表達(dá)式完全準(zhǔn)確（也沒必要），所以可用統(tǒng)計(jì)學(xué)中的變異系數(shù)（Coefficient of variation），比如設(shè)個(gè)闕值0.05，小過這個(gè)值我們就認(rèn)為兩組數(shù)據(jù)相同。相同的區(qū)域就保留Mode曲線，不相同就是不符合布洛赫定理的無效Mode曲線。
WCS放到角上，厚度中心，以該點(diǎn)為參考，定義兩個(gè)WCS的坐標(biāo)，方便我們計(jì)算晶格矢量。
將WCS移到第一個(gè)點(diǎn)，儲(chǔ)存為wcs1，畫個(gè)圓半徑0.2，所以該圓是以u(píng)軸開始的逆時(shí)針方向。
再將WCS對(duì)齊到第二個(gè)點(diǎn)（可用pick point from coordinates，需還原WCS到參考點(diǎn)）, 儲(chǔ)存為wcs2，畫個(gè)圓，注意要分開成第二組曲線。
有了兩個(gè)Curve之后，后處理分別對(duì)兩個(gè)Curve提取Z方向每個(gè)模式的電場：
由于參數(shù)掃描并沒有記錄全部的電場，這里可能需要重新參數(shù)掃描。結(jié)果如下：
圓曲線的長度定義是從X+方向?yàn)?，逆時(shí)針轉(zhuǎn)的。不確定的話可以對(duì)比三維的場強(qiáng)變化來確認(rèn)長度定義。
下面將電場與反向平面波相位因子相乘，得到curve1的周期函數(shù)表達(dá)式：
公式用到的向量關(guān)系如下：
分別計(jì)算兩個(gè)curve上的周期函數(shù)表達(dá)式：
這個(gè)MixTemplate可以不用重新參數(shù)掃描，結(jié)果如下：
然后curve1的周期式減去curve2 的周期式得到誤差值：
由于數(shù)據(jù)都是離散采樣點(diǎn)，所以要用Stochastic的方法計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差：這里取實(shí)部就可以了，因?yàn)槲覀冏詈笾恍枰唤M實(shí)數(shù)來做決定，通過或不通過之前計(jì)算的這些Mode值而已。并且，這里如果選Mag, 并不能給我們有效的信息，因?yàn)橄嗤腗ag，也可以是不同的實(shí)部虛部。
所以在這一步，數(shù)據(jù)類型正式從電場復(fù)數(shù)變成實(shí)數(shù)（1DC變0D）。
標(biāo)準(zhǔn)差值如下，其實(shí)這里就可以看出一些我們想要的結(jié)果了，就是近乎0值的這些區(qū)域說明就是滿足周期函數(shù)。
為了得到通過或不通過這樣的二進(jìn)制數(shù)據(jù)，我們用標(biāo)準(zhǔn)差除以curve1的幅度平均值，得到變異系數(shù)：
選取變異系數(shù)小于0.05的參數(shù)PathPara為1，其他為0：
將結(jié)果與之前的色散圖相乘，獲得新的色散圖：
調(diào)整曲線為相同的點(diǎn)：
可將Y軸歸一化，晶格周期是1um：
全部的后處理：
將新舊色散圖放一起，可見真正的TM模式被標(biāo)注出來：
結(jié)果與文獻(xiàn)中的TM模式一致：
參考文獻(xiàn)：
J.D. Joannopoulos, “Photonic Crystals:Molding the Flow of Light”, Chap. 5
小結(jié)：
1） 文中的模式式TM，如果要看TE，邊界要改成Magnetic，curve上要看Z磁場。完整的能級(jí)分析需要TE和TM。
2) 可能有人好奇，為什么要看圓型curve呢？其他curve行不行？我覺得理論上可以，不過圓形上的點(diǎn)坐標(biāo)容易寫，sin和cos就行，圈定的區(qū)域也比較有代表性。
3) 本文還用了一些統(tǒng)計(jì)學(xué)的手段，研究兩組數(shù)據(jù)的重疊情況。
4） 60度角的晶格需要我們調(diào)整布里淵區(qū)，就是CST中的ParaPath參數(shù)定義式，文中是90度的XY，以后我們會(huì)寫關(guān)于60度的XY以及更容易獲得布洛赫模的方法。
5) 手動(dòng)驗(yàn)證布洛赫定理公式成功~ 手動(dòng)雖復(fù)雜，但是可以學(xué)的更多~
